makalah matematika

makalah ini membahas tentang sistem persamaan linear dalam bentuk matriks beserta bentuk umumnya diman a makalah ini di lengkapi denngan rumus-rumus yang sesuai dengan judul dari makalah ini yaitu

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DALAM BENTUK MATRIKS

BAB I

PENDAHULUAN

I.1 LATAR BELAKANG

Dengan mengucapkan puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat dan anugerah-Nya sehingga Makalah Matematika Lanjut yang berisi tentang “Persamaan Linier dan Aturan Cramer” ini dapat diselesaikan dengan baik.Kami berharap agar Makalah Matematika Lanjut ini dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya oleh pembaca sekalian terutama untuk mereka yang senang dengan materi yang kami guna menambah wawasan dan ilmu mengenai Ilmu matematika.Kami menyadari bahwa tidak ada yang sempurna di dunia ini, apalagi Makalah Matematika Lanjut yang dibuat ini. Makalah Matematika Lanjut ini memang masih jauh dari sempurna,baik dalam hal isi, maupun penyajiannya. Karena itu kami mengharapkan segala sara dan kritik yang bersifat membangun dari semua pihak untuk memperbaiki Makalah Matematika Lanjut ini agar lebih layak untuk dibaca.Akhir kata, kami menyampaikan permohonan maaf yang sebesar-besarnya bila ada kata-kata yang salah dan semoga Makalah Matematika Lanjut ini dapat memberikan manfaat bagi pembaca sekalian.

BAB II

PEMBAHASAN

II.1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR

A.       Pengertian Persamaan Linear

Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat Kartesius.

Bentuk umum untuk persamaan linear adalah

Dalam hal ini, konstanta m akan menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x³, y^1/2, dan xy bukanlah persamaan linear.

Bentuk umum :

dimana x₁, x₂, . . . , x_n variabel tak diketahui, a_ij , b_i,

i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.

Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

B.       Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x dan y adalah variabelnya.

Ø  Bentuk Umum

Dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A ≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a. Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan dengan rumus -c/b.

Ø  Bentuk standar

Di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a dan b adalah nol.

Ø  Bentuk titik potong gradien

 Sumbu-y

Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di grafik.

 Sumbu-x

Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.

C.    Sistem persamaan linear lebih dari dua variabel

Sebuah persamaan linear bisa mempunyai lebih dari dua variabel, seperti berikut ini:

di mana dalam bentuk ini, digambarkan bahwa a₁ adalah koefisien untuk variabel pertama, x₁, dan n merupakan jumlah variabel total, serta b adalah konstanta.

D.    Penyajian Sistem Persaman Linear  Dalam Matriks

    

 SPL                           BENTUK MATRIKS

  

Strategi Menyelesaikan Spl:

Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang lebih sederhana.

    Contoh:

                                                                                       

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI GAUSS.

E.     BENTUK ECHELON – BARIS DAN ECHELON – BARIS TEREDUKSI

Matriks yang memenuhi kondisi (1),(2),(3) disebut matriks bentuk echelon –baris tereduksi.

Contoh bentik matriks echelon – baris tereduksi :

Contoh bentuk echelon –baris :

Ø  Bentuk umum echelon-baris

Ø  Bentuk umum echelon-baris tereduksi

Dilambangkan * dapat diisi bilangan real sebarang METODE GAUSS-JORDAN

Ø  Bentuk Echelon –Baris:

Misalkan SPL disajikan dalam matriks berikut:

Maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Matriks ini disebut bentuk echcelon – baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk  ini maka syaratnya adalah sbb:

1.      Jika suatau baris matriks tidak nol semua maka elemen tak nol pertama adalah 1.baris ini disebut mempunyai leading 1.

2.      Semua baris yang terdiri dari nol semua dikumpulkan dibagian bawah.

3.      Leading 1 pada matriks lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading 1baris berikutnya.

4.      Setip kolom yang memuat leading 1, elemen lainya semuanya 0.

II.2 MATRIKS

A.    Pengerttian Matriks

Matriks adalah susunan atau kumpulan dari elemen-elemen yang tersusun teratur dalam baris dan kolom berbentuk bujursangkar atau persegi panjang.

Dalam lingkungan sekolah dapat kita jumpai daftar yang berkaitan dengan jumlah siswa sekolah berdasarkan pada nilai rata-rata matapelajaran pada tiap semester yang disajikan dalam bentuk tabel.

Matriks suatu bentuk notasi matematik yang mempunyai peran sangat besar dalam perkembangan sain dan teknologi, misalkan pada permasalahan yang berkaitan dengan ilmu ekonomi seringkali orang memakai matriks dalam menyelesaikannya, masalah yang berkaitan dengan transportasi yaitu bagaimana memilih lintasan yang terpendek yang pemecahannya dapat dilakukan dengan matriks, demikian pula bagaimana orang dapat menentukan banyaknya campuran yang akan dibuat sehingga menghasilkan suatu produk yang mempunyai keuntungan basar dan masih banyak lagi contoh- contoh yang menunjukkan bahwa matriks mempunyai peranan besar.

B.     Jenis-jenis Matriks

Pada subbab ini akan dibahas mengenai jenis matriks atau matriks khusus yang sering dijumpai dalam penerapan yaitu :

1.      Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

• Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya  kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

          Contoh : 

• Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 )

• Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

          Contoh :   

• Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

          Contah :

• Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

       Contoh :

2.      Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks  dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

• Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  m x n, ditulis dengan huruf  O. 

        contoh :

• Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

       Contah :  

• Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

       Contoh : 

       Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

• Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

       Contoh :

• Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

       Contoh :

• Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

       Contoh : 

C.    Operasi Aljabar Pada Matriks

Operasi aljabar pada matriks berlaku operasi penjumlahan , pengurangan dan perkalian matriks yaitu

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan 2 matriks atau lebih dapat dilakukan jika

memenuhi syarat perlu sebagai berikut :

misalkan matriks A dan B dijumlahkan atau dikurangkan a ± b maka

(a) Ukuran dari matriks A = Ukuran matriks B

(b) Penjumlahan atau pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang letaknya bersesuaian

2. Perkalian Skalar dengan Matriks.

Perkalian matriks A berukuran m x n dengan skalar k ≠ 0 adalah matriks

kA berukuran m x n yang elemen elemennya diperoleh dengan mengalikan elemen elemen matriks A dengan skalar k.

3. Perkalian Matriks dengan Matriks.

Jika Matriks A = (aij)berukuran m x n dan matriks B = (jkb) berukuran pxq maka perkalian AB dapat dilakukan jika banyaknya kolom dari matriks A = banyaknya baris dari matriks B ( n = p )

D.    MATRIKS INVERS

Pada bagian ini akan dibahas tentang invers dari suatu matriks dan cara mencari inversnya, sifat-sifat dasar dari suatu matriks yang mempunyai invers. Sebelum membahas tentang matriks invers terlebih dahulu dijelaskan beberapa jenis matriks yang akan berkaitan secara langsung dengan matriks invers. Sebuah matriks dikatakan matriks nol, jika semua anggota dari matriks tersebut nol semuanya. Sedangkan ukuran dari matriks nol tersebut tergantung pada matriks kawannya.

BAB III

KESIMPULAN

A.    KESIMPULAN

Kelebihan dari metode Matriks :

1.     Sistematika pengerjaan mencari solusi lebih sederhana, karena da­lam pengerjaan tinggal mensubstitusi parameter-parameter yang diketahui kedalam bentuk rumus umum dan juga tidak berhubungan dengan kon­stanta tak diketahui seperti pada me­tode Koefisien Tak Tentu dan Variasi Parameter.  Ini mengakibatkan kesalahan da­lam pengerjaan akan sangat menjadi kecil.

2.     Dengan perkembangan perangkat lunak dibidang Matematika seperti, perangkat lu­nak Mathematica dan Maple, akan sangat me­mudahkan pengerjaan dengan metode Matriks ini.  Hal ini akan menstimulir, khusus­nya mahasiswa Matematika untuk menggu­nakan perangkat lunak di­bidang Matematika.

3.     Dalam penurunan metode Matriks ini, khususnya mahasiswa Matematika, menam­bah wawasan tentang aplikasi     dari konsep-kon­sep dasar Matematika, khususnya konsep Matriks, Linearitas dan Identitas Euler, pada masalah PD Linear Orde Dua tak Homugen untuk mencari solusi partikulir

Kelemahan dari metode Matriks ini adalah sebagai berikut:

1.     Untuk dapat memahami penurunan konsep metode Matriks diperlu­kan pengeta­huan tentang metode Koefisien tak Tentu terlebih da­hulu.

2.     Apabila pengetahuan mengenai perangkat lunak Mathematica dan se­jenisnya tidak dimiliki, penyelesaian solusi Partikulir untuk PD yang mempunyai bentuk  r(x)  hasil perkalian fungsi eksponensial dengan polinom berderajat tinggi  n > 2  akan menjadi sedikit ru­mit, karena dalam proses penyelesaian akan menemukan matriks berukuran besar dalam penentuan invers matriks.

3.     Bentuk fungsi  r(x)  yang dapat diselesaikan dengan metode Matriks ini hanya ter­batas dalam bentuk-bentuk perkalian antara fungsi eksponen­sial dan polinom, karena metode ini diturunkan dari metode Koefisien tak Tentu.