Barisan dan Deret Aritmatika (Hitung / Tambah)

1. BARISAN ARITMATIKA
   
   U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
   U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
   
   Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1
   
   Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                         U₁, U₂,   U₃ ............., U_n
   
   Rumus Suku ke-n :
   
   U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
   
   
   
2. DERET ARITMATIKA
   
   a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
   
   a = suku awal
   b = beda
   n = banyak suku
   U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = 1/2 n(a+U_n)
         = 1/2 n[2a+(n-1)b]
         = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
   
   Keterangan:
   
   
   1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
      
      
   2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
      
      
   3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
      
      
   4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
      
      U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
      
      
   5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
   7. 
      

   8. Deret Aritmatika atau Deret Hitung
      1.	Pengertian Deret Aritmetika Deret aritmetika dinyatakan dengan menjumlahkan suku- suku pada barisan aritmetika   a. Pengertian Deret Jika suatu barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk penjumlahan, maka akan terbentuk suatu deret. Barisan Bilangan : U1, U2, U3, U4, …, Un Deret : U1 + U2 + U3 + U4 +…+ Un   b. Pengertian Deret Aritmetika Barisan Bilangan Aritmetika : U1, U2, U3, U4, …, Un Deret U1 + U2 + U3 + U4 +…+ Un disebut deret Aritmetika atau deret hitung, Jika: U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3, …, Un –  Un-1 selalu memperoleh hasil yang sama atau tetap. U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 dan seterusnya disebut beda Deret Aritmetika naik, jika bedanya positif Deret Arimetika turun, jika bedanya negatif Contoh: 4 + 7 + 10 + 13 + 16, … U1 = 4 U2 = 7 U2 – U1 = 7 – 4 = 3 U3 – U2 = 10 – 7 = 3 U4 – U3 = 13 – 10 = 3 U5 – U4 = 16 – 13 = 3 Karena bedanya selalu tetap yaitu 3, maka 4 + 7 + 10 + 13 + 16, …adalah deret aritmetika atau deret hitung.
      2.	Rumus Suku ke-n Deret Aritmetika Rumus Suku ke-n untuk deret aritmetika: Un = U1 + (n – 1)b Un = suku ke-n U1 = suku ke-1 n = banyak suku b = beda Contoh: Deret Aritmetika 5 + 11 + 17 + 23 + … Beda = 11 – 5 = 6 Suku ke-n = Un = U1 + (n – 1)b Suku ke-12 = U12 = 5 + (12 – 1)6 = 5 + 11.6 = 5 + 66 = 71
      3.	Suku Tengah Deret Aritmatika Suku tengah suatu deret aritmetika terletak ditengah antara U1 dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus berikut. Contoh: Deret 3 + 8 + 13 + 18 + … + 103 Suku tengah deret tersebut = 53
      4.	Sisipan pada Deret Aritmatika Sisipan dalam deret aritmetika adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmetika sehingga terjadi deret aritmetika yang baru Deret mula-mula: 3 + 15 + 27 + … Setelah disisipi: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + … Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan b1 dan dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut: b1 = beda pada deret baru b = beda deret mula-mula k = banyak bilangan yang disisipkan Contoh: Di antara dua suku yang berurutan pada deret 7 + 19 + 31 + 43 + 55 + … disisipkan dua buah bilangan, maka: b = 19 – 7 = 12 k = 2 Beda deret baru setelah diberi sisipan adalah 4
      5.	Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus: atau Contoh: Jumlah 14 suku pertama dari deret 4 + 12 + 20 + 28 + 36 + … Ditentukan dengan cara U1 = 4 b = 12 – 4 = 8 n = 14 Karena Un tidak diketahui, kita gunakan rumus kedua, yaitu: Jadi, Jumlah 20 suku pertama dari deret 4 + 12 + 20 + 28 + 36 + … adalah 784