Wednesday, 27 June 2012

Barisan dan Deret Aritmatika (Hitung / Tambah)

  1. BARISAN ARITMATIKA

    U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
    U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

    Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

    Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                          U1, U2,   U3 ............., Un

    Rumus
    Suku ke-n :

    Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)
    ® Fungsi linier dalam n


  2. DERET ARITMATIKA

    a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

    a = suku awal
    b = beda
    n = banyak suku
    Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

    Jumlah n suku

    Sn = 1/2 n(a+Un)
          = 1/2 n[2a+(n-1)b]
          = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

    Keterangan:

    1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

    2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika
      b < 0

    3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

    4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

      Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst.

    5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

    7. Deret Aritmatika atau Deret Hitung
       
      1. Pengertian Deret Aritmetika
      Deret aritmetika dinyatakan dengan menjumlahkan suku- suku pada barisan aritmetika
       
      a. Pengertian Deret
      Jika suatu barisan bilangan dinyatakan dalam bentuk penjumlahan, maka akan terbentuk suatu deret.

      Barisan Bilangan : U1, U2, U3, U4, …, Un
      Deret : U1 + U2 + U3 + U4 +…+ Un
       
      b. Pengertian Deret Aritmetika
      Barisan Bilangan Aritmetika : U1, U2, U3, U4, …, Un
      Deret U1 + U2 + U3 + U4 +…+ Un disebut deret

      Aritmetika atau deret hitung, Jika:
      U2 – U1, U3 – U2, U4 – U3, …, Un –  Un-1 selalu memperoleh hasil yang sama atau tetap.

      U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 dan seterusnya disebut beda

      Deret Aritmetika naik, jika bedanya positif
      Deret Arimetika turun, jika bedanya negatif

      Contoh:
      4 + 7 + 10 + 13 + 16, …

      U1 = 4
      U2 = 7
      U2 – U1 = 7 – 4 = 3
      U3 – U2 = 10 – 7 = 3
      U4 – U3 = 13 – 10 = 3
      U5 – U4 = 16 – 13 = 3

      Karena bedanya selalu tetap yaitu 3, maka
      4 + 7 + 10 + 13 + 16, …adalah deret aritmetika atau deret hitung.
       
      2. Rumus Suku ke-n Deret Aritmetika

      Rumus Suku ke-n untuk deret aritmetika:

      Un = U1 + (n – 1)b

      Un = suku ke-n
      U1 = suku ke-1
      n = banyak suku
      b = beda


      Contoh:

      Deret Aritmetika 5 + 11 + 17 + 23 + …
      Beda = 11 – 5 = 6
      Suku ke-n = Un = U1 + (n – 1)b
      Suku ke-12 = U12 = 5 + (12 – 1)6
      = 5 + 11.6
      = 5 + 66
      = 71
       
      3. Suku Tengah Deret Aritmatika

      Suku tengah suatu deret aritmetika terletak ditengah antara U1 dan Un dengan banyak suku ganjil.
      Suku tengah deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus berikut.

      Contoh:

      Deret 3 + 8 + 13 + 18 + … + 103

      Suku tengah deret tersebut = 53
       
      4. Sisipan pada Deret Aritmatika

      Sisipan dalam deret aritmetika adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmetika sehingga terjadi deret
      aritmetika yang baru

      Deret mula-mula:
      3 + 15 + 27 + …
      Setelah disisipi:
      3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + …

      Besar beda deret setelah diberi sisipan dinyatakan dengan
      b1 dan dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:


      b1 = beda pada deret baru
      b = beda deret mula-mula
      k = banyak bilangan yang disisipkan

      Contoh:

      Di antara dua suku yang berurutan pada deret
      7 + 19 + 31 + 43 + 55 + … disisipkan dua buah bilangan, maka:

      b = 19 – 7 = 12
      k = 2

      Beda deret baru setelah diberi sisipan adalah 4
       
      5. Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmatika

      Jumlah n suku pertama dari deret aritmetika dapat ditentukan dengan rumus:

      atau


      Contoh:

      Jumlah 14 suku pertama dari deret
      4 + 12 + 20 + 28 + 36 + …
      Ditentukan dengan cara
      U1 = 4
      b = 12 – 4 = 8
      n = 14
      Karena Un tidak diketahui, kita gunakan rumus kedua, yaitu:



      Jadi, Jumlah 20 suku pertama dari deret
      4 + 12 + 20 + 28 + 36 + … adalah 784
       

No comments:

Post a Comment

Post a Comment

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...